Um grupo topológico com apenas enumerável de muitos componentes conectados cujo componente identidade está aberto e é um grupo analítico. Grupo uma analítica ou grupo de Lie conectado é um grupo topológico com a estrutura adicional de uma variedade suave tal que a multiplicação e inversão são lisas. Muitos grupos que surgem naturalmente como grupos de simetrias de sistemas físicos ou matemáticos são grupos de Lie. Grupos de o estudo da mentira tem aplicações à teoria da função analítica, equações diferenciais, geometria diferencial, análise de Fourier, teoria algébrica dos números, geometria algébrica, mecânica quântica, relatividade e teoria da partícula elementar.